Para poder entender cómo se calcula el área del círculo, primero tenemos que conocer los elementos que lo componen.
Radio: Es el segmento que une el centro del círculo con cualquier punto de la circunferencia.
Diámetro:Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro.
El número Pi: Cuyo símbolo es π, es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es decir, las veces que el diámetro entra en la circunferencia. Es un número constante, porque no importa cuál sea la circunferencia del círculo, el número π será siempre el mismo. Tiene un número indefinido de decimales, pero para realizar cálculos matemáticas se utilizan 3,14 o 3,1416.
Perímetro de la circunferencia, es la medida de su longitud.
Ahora conocemos todos los elementos necesarios para calcular el área del círculo. Existe una fórmula precisa, que es la siguiente:
A = π x r²
Por lo tanto, para calcular el área de un círculo, debemos conocer su radio (r) o su diámetro, ya que es el doble del radio. Aplicando esta fórmula podemos calcular el área, pero no hemos entendido por qué se calcula así, vamos a seguir aprendiendo.
Para explicar el origen de la fórmula para calcular el área de un círculo, vamos a hacerlo con un ejemplo:
Tenemos un círculo de 2,5 cm de radio, con un perímetro de la circunferencia de 15,708 cm. Vamos a dividir este círculo en porciones iguales, como si cortáramos una pizza.
Ahora vamos a colocar esas porciones de círculo una al lado de la otra; si las encerramos en un rectángulo, este rectángulo tendrá 15,708 cm de base (el perímetro de la circunferencia), por 2,5 cm de alto (el radio).
Ahora, para calcular el área, tenemos que hacer perímetro (p) por radio (r) dividido por 2: multiplicando p x r obtenemos el área del rectángulo en el que hemos englobado nuestras "porciones" de círculo; pero el área ocupada por las porciones, es decir el área del círculo, es la mitad del área del rectángulo, por eso lo dividimos por 2.
suma base por altura = perímetro de la circunferencia x radio
2 2
Si reemplazamos con los datos que conocemos, vemos que el área es:
A = 15,708 x 2,5 = 19,635 cm²
2
Pero, para calcular el área de este modo, primero tendríamos que calcular el perímetro de la circunferencia. Por eso, vamos a seguir simplificando la fórmula. Vamos a reemplazar el "perímetro o longitud de la circunferencia" por la fórmula que hemos usado para calcularlo y que ya conocemos:
L = 2 x π x r
A = 2 x π x r x r
2
Como tenemos un dos que multiplica y otro que divide podemos eliminarlos.
Nos queda entonces la fórmula A = π x (r x r)
r x r es igual que r al cuadrado (r²), así que finalmente, la fórmula para calcular el área del círculo es:
Vamos a comprobar nuestro primer cálculo reemplazando con los datos que tenemos:
A = 3,1416 x 2,5²
A = 3,1416 x 6,25
A = 19,635 cm²
Hemos llegado al mismo resultado.
El círculo es la superficie del plano limitada por la circunferencia. 
Decimos que una recta puede situarse en esta tres posiciones respecto a una circunferencia:
