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De todos los divisores comunes de dos números, al mayor de ellos lo llamamos "máximo común divisor". Lo escribimos abreviado con las iniciales
m.c.d.
m.c.d. (12 y 15 ) = 3 porque
d (12) = {1, 2, 3, 4, 6 y 12}
d (15) = { 1, 3, 5 y 15}
Vamos a verlo con un problema:
María tiene dos rollos de cuerda, uno de 18 metros y otro de 24. Si quiere cortarlas en trozos iguales de la máxima longitud posible, ¿cuánto medirá cada trozo?
d (18) = { 1, 2, 3. 6, 18}
d (24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
m.c.d. (18 y 24) = 6
Cada trozo medirá 6 metros.
Para encontrar rápidamente el m.c.d. usamos la descomposición factorial y los criterios de divisibilidad. Vamos a verlo con 12 y 18
m.c.d. (12 ,18) = 2 x 3 = 6
El m.c.d. de 12 y 18 para que sea divisor de los dos, debe contener en su descomposición factorial los factores que sean comunes (con el exponente menor).
Veamos otro ejemplo: El m.c.d. de 40 y 60.
Pincha en los siguientes enlaces para repasar un poco.
De todos los múltiplos comunes de varios números, al menor de ellos, distinto de cero, lo llamamos "mínimo común múltiplo". Lo escribimos abreviado con las iniciales
m.c.m
Por ejemplo el m.c.m. (3 y 4) = 12 porque es el menor de los múltiplos comunes
m (3) = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...}
m (4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...}
m.c.m (2, 4 y 8) = 8 porque es el menor de los múltiplos comunes
m (2) = {0, 2, 4, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 ...}
m (4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28...}
m (8) = {0, 8, 16, 24, 32...}
Vamos a verlo con un problema:
En la parada sale un autobús de la línea verde cada 4 minutos y de la línea azul sale uno cada 5 minutos. En ambas líneas acaban de salir a la vez. ¿Cuántos minutos transcurrirán hasta que vuelvan a coincidir la salida de ambas líneas?
El m.c.m. (4 y 5) = 20
m (4) = {0, 4, 8, 16, 20, 24...}
m (5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25...}
Coincidirán dentro de 20 minutos.
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Para encontrar rápidamente el m.c.m., utilizamos la descomposición factorial. Se trata de descomponer el número en todos los productos que lo forman.
El número 12 lo podemos expresar como 12 = 3 x 4 o como 12 = 2 x 6, incluso como 12 = 1 x 12.
Cualquier número se puede expresar como un producto de factores primos:
El número 12 también lo podemos expresar como 12 = 3 x 2 x 2, siendo todos sus factores números primos.
Calculamos los factores primos del número 36.
Dividimos por el divisor (factor) más pequeño (distinto de 1) y el cociente que nos da lo volvemos a dividir por ese factor hasta que no sea divisible
36 : 2 = 18 y 18 : 2 = 9
Si el cociente es divisible por otro factor (divisor) seguimos el proceso hasta llegar a un cociente que es primo.
9 : 3 = 3 y 3 es primo.
dos son los factores de ese número: 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
Si se repiten los factores podemos expresarlo como potencia quedando como 36 = 22x 32
En la siguiente imagen, se puede ver la descomposición factorial de los números 36, 24, 27 y 16.
Para buscar el m.c.m. de 30 y 45, usamos la descomposición factorial aplicando lo que sabemos sobre los criterios de divisibilidad.
El m.c.m. de 30 y 45, para que sea múltiplo de todos, debe contener en su descomposición los factores que sean comunes (con exponente mayor) y todos los no comunes.
Pincha en los siguientes enlaces para jugar un poco.
Una criba es una selección; la criba de Eratóstenes es un procedimiento que permite seleccionar todos los números primos menores de un número natural dado. Nosotros vamos a verlo con el 100.
Pinchando en el siguiente enlace podrás acceder a la página web de Actiludis donde Luis Millán Valdovinos ha creado una aplicación en excel de "La criba de Eratóstenes" que te permite encontrar todos los números primos hasta el 100.
Al hacer clic en el título "La criba de Eratóstenes" te muestra una breve reseña del método.
Al hacer clic en el niño te mostrará las instrucciones.
