MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m)

 De todos los múltiplos comunes de varios números, al menor de ellos, distinto de cero, lo llamamos "mínimo común múltiplo". Lo escribimos abreviado con las iniciales 

m.c.m

Por ejemplo el m.c.m. (3 y 4) = 12 porque es el menor de los múltiplos comunes

m (3) = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...}

m (4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...}

m.c.m (2, 4 y 8) = 8 porque es el menor de los múltiplos comunes

m (2) = {0, 2, 4, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 ...}

m (4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28...}

m (8) = {0, 8, 16, 24, 32...}

Vamos a verlo con un problema:

En la parada sale un autobús de la línea verde cada 4 minutos y de la línea azul sale uno cada 5 minutos. En ambas líneas acaban de salir a la vez. ¿Cuántos minutos transcurrirán hasta que vuelvan a coincidir la salida de ambas líneas?

El m.c.m. (4 y 5) = 20

m (4) = {0, 4, 8, 16, 20, 24...}

m (5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25...}

Coincidirán dentro de 20 minutos.

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

Para encontrar rápidamente el m.c.m., utilizamos la descomposición factorial. Se trata de descomponer el número en todos los productos que lo forman.

El número 12 lo podemos expresar como 12 = 3 x 4 o como 12 = 2 x 6, incluso como 12 = 1 x 12.

Cualquier número se puede expresar como un  producto de factores primos:

El número 12 también lo podemos expresar como 12 = 3 x 2 x 2, siendo todos sus factores números primos.

Calculamos los factores primos del número 36.

• Dividimos por el divisor (factor) más pequeño (distinto de 1) y el cociente que nos da lo volvemos a dividir por ese factor hasta que no sea divisible

                   36 : 2 = 18    y    18 : 2 = 9

• Si el cociente es divisible por otro factor (divisor) seguimos el proceso hasta llegar a un cociente que es primo.

             9 : 3 = 3 y 3 es primo.

             dos son los factores de ese número: 36 = 2 x 2 x 3 x 3.

• Si se repiten los factores podemos expresarlo como potencia quedando  como  36 = 2² x 3²

En la siguiente imagen, se puede ver la descomposición factorial de los números 36, 24, 27 y 16.

Para buscar el m.c.m. de  30 y 45, usamos la descomposición factorial aplicando lo que sabemos sobre los criterios de divisibilidad.

El m.c.m. de 30 y 45, para que sea múltiplo de todos, debe contener en su descomposición los factores que sean comunes (con exponente mayor) y todos los no comunes.

Pincha en los siguientes enlaces para jugar un poco.

1. Múltiplos de un número

2, Múltiplos y m.c.m

3. Divisores de un número